On considère deux vecteurs \((\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})\) de l’espace. Résoudre l’équation vectorielle \[\overrightarrow{x}+\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{x} =\overrightarrow{b}\]


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[ID: 244] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:46] [Catégorie(s): Produits scalaire, vectoriel et mixte ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 500
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:46

Soit \(\overrightarrow{x}\) une solution. En prenant le produit scalaire avec \(\overrightarrow{a}\), on trouve que \[\overrightarrow{a} . \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} . \overrightarrow{b}\] En prenant le produit vectoriel avec \(\overrightarrow{a}\), et en utilisant la formule du double produit vectoriel, on obtient \[\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{x} + (\overrightarrow{a}.\overrightarrow{x})\overrightarrow{a} - \lVert \overrightarrow{a} \rVert_{ }^2 \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}\] d’où l’on tire (remplacer \(\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{x}\) par \(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{x}\) et \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{x}\) par \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\)) que : \[\boxed{ \overrightarrow{x} = \dfrac{1}{1+\lVert \overrightarrow{a} \rVert_{ }^2}\bigl[\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b} + (\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}) \overrightarrow{a}\bigr] }\] On vérifie réciproquement en utilisant la formule du double produit vectoriel que ce vecteur est solution.


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