Dans l’espace, on considère un vecteur \(\overrightarrow{u}\) unitaire et une base orthonormale directe \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\).

  1. Calculer \(\alpha = \lVert \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{i} \rVert_{ }^2 + \lVert \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{j} \rVert_{ }^2 + \lVert \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{k} \rVert_{ }^2\).

  2. En déduire que l’une de ces trois normes est supérieure ou égale à \(\sqrt{2/3}\).


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[ID: 240] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:46] [Catégorie(s): Produits scalaire, vectoriel et mixte ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 666
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:46
  1. Notons \(\overrightarrow{u} \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y\\z \end{matrix}\right.}\). Alors \(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{i} \underset{}{\left|\begin{matrix} 0 \\ z \\ -y \end{matrix}\right.}\), \(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{j} \underset{}{\left|\begin{matrix} -z \\ 0 \\ x \end{matrix}\right.}\), \(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{k} \underset{}{\left|\begin{matrix} y \\ -x \\ 0 \end{matrix}\right.}\). Par conséquent, \(\alpha = 2(x^2+y^2+z^2) = 2\) puisque \(\lVert u \rVert_{ }^2 = 1\).

  2. Par l’absurde, si les trois normes étaient toutes strictement inférieures à \(\sqrt{2/3}\), on aurait \(2 = \alpha < 2/3 + 2/3 + 2/3 = 2\), ce qui est absurde.


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