Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs de l’espace. Montrer que : \[\overrightarrow{u} \wedge \left(\overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{w}\right) = \left(\overrightarrow{u} . \overrightarrow{w}\right)\overrightarrow{v} - \left(\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v}\right)\overrightarrow{w}\]


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[ID: 238] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:46] [Catégorie(s): Produits scalaire, vectoriel et mixte ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 804
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:46

Considérons un repère orthonormal direct \(\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) dans lequel les coordonnées de \(\overrightarrow{u}\) sont \(\left(a,0,0\right)\), celles de \(\overrightarrow{v}\) sont \(\left(a',b',0\right)\) (il suffit pour cela que \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\) engendrent un plan contenant \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\)) et celles de \(\overrightarrow{w}\) sont \(\left(a'',b'',c''\right)\). On a alors : \[\overrightarrow{u} \wedge \left(\overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{w}\right) = \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\0 \\0 \end{matrix}\right.}\wedge \left( \underset{}{\left|\begin{matrix} a'\\b' \\0 \end{matrix}\right.}\wedge \underset{}{\left|\begin{matrix} a''\\b'' \\c'' \end{matrix}\right.}\right) = \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\0 \\0 \end{matrix}\right.} \wedge \underset{}{\left|\begin{matrix} b'c''\\-a'c'' \\a'b''-b'a'' \end{matrix}\right.} = \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\aa''b'-aa'b''\\-aa'c'' \end{matrix}\right.}\] et : \[\left(\overrightarrow{u} . \overrightarrow{w}\right)\overrightarrow{v} - \left(\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v}\right)\overrightarrow{w} = aa'' \underset{}{\left|\begin{matrix} a'\\b'\\0 \end{matrix}\right.} -aa' \underset{}{\left|\begin{matrix} a''\\b''\\c'' \end{matrix}\right.}= \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\aa''b'-aa'b''\\-aa'c'' \end{matrix}\right.}\] d’où l’égalité.


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