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[ID: 3739] [Date de publication: 14 mars 2024 22:04] [Catégorie(s): Polynôme caractéristique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

\(AM+B\) et \(AM\) ont même polynôme caractéristique, Centrale MP 2012
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:04

1. Trigonaliser.

2. (a)\(\Rightarrow\)(b) : \(B\) a même polynôme caractéristique que la matrice nulle, \((-X)^n\), donc \((-B)^n =0\). De plus, pour \(M\) quelconque, \(\mathop{\rm tr}\nolimits((AM+B)^2 )=\mathop{\rm tr}\nolimits((AM)^2 )\), d’où \(0=\mathop{\rm tr}\nolimits(AMB+BAM)=2\mathop{\rm tr}\nolimits(BAM)\). Ceci entraîne classiquement \(BA=0\).

   (b)\(\Rightarrow\)(a) : pour \(\lambda \neq 0\), la matrice \(B-\lambda I\) est inversible et on a pour \(M\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\), \[\begin{aligned} \det(AM+B-\lambda I) &=\det(B-\lambda I)\det((B-\lambda I)^{-1}AM+I)\\ &=(-\lambda )^n \det((B-\lambda I)^{-1}AM+I)\\ &=\det(-\lambda (B-\lambda I)^{-1}AM-\lambda I). \end{aligned}\] De plus, \((B-\lambda I)A=-\lambda A\), donc \(A=-\lambda (B-\lambda I)^{-1}A\) et il vient \(\det(AM+B-\lambda I)=\det(AM-\lambda I)\) pour tout \(\lambda \neq 0\), donc aussi pour \(\lambda =0\) par caractère polynomial en \(\lambda\) des deux membres.