Soit \(\mathbb{K}\) un corps quelconque, \(n\in \mathbb{N}^*\), \(M\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). On note \(\mu\) le polynôme minimal de \(M\) et \(\chi\) son polynôme caractéristique. Le but de l’exercice est de prouver que \(\mu\) et \(\chi\) ont mêmes facteurs irréductibles.

  1. Traiter le cas où \(\chi\) est scindé.

  2. Cas général.

    1. Montrer que pour tout \(P\in \mathbb{K}[X]\), il existe \(R\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}[X]})\) tel que \[P(M)-P(X)I_n=(M-XI_n)R(X).\]

    2. Montrer que \(\chi\) divise \(\mu ^n\) puis conclure.


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[ID: 3737] [Date de publication: 14 mars 2024 22:04] [Catégorie(s): Polynôme caractéristique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Facteurs irréductibles (Lacouture)
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:04
  1. \(\mu\) divise \(\chi\) par Cayley-Hamilton et a les mêmes racines, les valeurs propres de \(M\).

    1. Pour \(P(X)=X^p\) c’est la factorisation bien connue de \(a^p-b^p\) ; pour \(P\) quelconque additionner les factorisations pour chaque monôme.

    2. Prendre \(P=\mu\) et calculer les déterminants.


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