Soit \(p\) premier et \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{Z}})\). Montrer que \(\mathop{\rm tr}\nolimits(A^p)\equiv \mathop{\rm tr}\nolimits(A) \pmod p\).


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[ID: 3735] [Date de publication: 14 mars 2024 22:03] [Catégorie(s): Polynôme caractéristique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Fermat pour la trace, ULM-Lyon-Cachan MP\(^*\) 2005
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:03

Soit \(\mathbb{K}=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\). Il faut en fait prouver que pour toute matrice \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\), on a \(\mathop{\rm tr}\nolimits(A^p)=\mathop{\rm tr}\nolimits(A)\). Remarquer qu’on n’a pas forcément \(A^p=A\) dans \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\), c’est faux, entre autres, si \(A\) est nilpotente non nulle. Soit \(X\) une indéterminée sur \(\mathbb{K}\). On a dans l’anneau \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}[X]})\) : \((A-XI_n)^p = A^p-X^pI_n\), d’où, en prenant les déterminants : \(\chi_{A^p}(X^p) = \chi_A(X)^p = \chi_A(X^p)\) et on égale les coefficients de \(X^{(n-1)p}\).


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