Soient \(A,B\in \mathcal M _{2}(\mathbb{Z})\) telles que \(A,A+B,A+2B,A+3B,A+4B\) sont inversibles. Montrer que \(A+5B\) l’est.

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[ID: 3731] [Date de publication: 14 mars 2024 22:03] [Catégorie(s): Polynôme caractéristique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

X 2014
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:03

On suppose que inversible signifie inversible dans \(\mathcal M _{2}(\mathbb{Z})\), c’est-à dire que le déterminant vaut \(\pm 1\).

\(\det(A+kB)\) est un polynôme en \(k\) de degré inférieur ou égal à \(2\) prenant la même valeur, \(1\) ou \(-1\) en trois points distincts ; il est constant.

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