Soient \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\).

  1. Montrer que \(AB\) et \(BA\) ont les mêmes valeurs propres.

  2. Montrer que si \(A\) ou \(B\) est inversible, alors \(AB\) et \(BA\) ont même polynôme caractéristique.

  3. Dans le cas général, on note \(M = \begin{pmatrix}BA &-B\\ 0 &0 \end{pmatrix}\), \(N = \begin{pmatrix}0 &-B\\ 0 &AB \end{pmatrix}\), \(P = \begin{pmatrix}I_n & 0\\ A &I_n\end{pmatrix}\) (\(M,N,P \in \mathcal M _{2n}(\mathbb{K})\)).

    Vérifier que \(MP\) = \(PN\), montrer que \(P\) est inversible, et conclure.

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[ID: 3730] [Date de publication: 14 mars 2024 22:03] [Catégorie(s): Polynôme caractéristique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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\(AB\) et \(BA\) ont même polynôme caractéristique
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