Soient \(A,B\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\). Montrer l’équivalence entre :

a) \(\forall C\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\), il existe un unique \(X\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\) tel que \(AX-XB=C\).

b) \(\forall X\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\) on a \(AX = XB \Rightarrow X=0\).

c) \(\chi_B(A)\) est inversible.

d) \(A\) et \(B\) n’ont pas de valeur propre en commun.


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[ID: 3728] [Date de publication: 14 mars 2024 22:03] [Catégorie(s): Polynôme caractéristique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Matrices à spectres disjoints
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:03

\({\bf a}\Leftrightarrow {\bf b}\) : thm du rang.

\({\bf c}\Leftrightarrow {\bf d}\) : immédiat.

\({\bf c}\Rightarrow {\bf b}\) : si \(AX=XB\) alors pour tout polynôme \(P\) on a \(P(A)X = XP(B)\).

\(\overline{\bf c}\Rightarrow \overline{\bf b}\) : prendre \(U\) vecteur propre de \(A\), \(V\) vecteur propre de \({ }^tB\) associés à la même valeur propre et \(X=U^tV\).


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