Soit \(P = X^n - (a_{0} + a_{1}X +\dots+ a_{n-1}X^{n-1}) \in \mathbb{K}_n[X]\).

La matrice compagne de \(P\) est \(M = \begin{pmatrix} 0 & &{(0)}&a_{0} \\ 1 &\ddots & &a_{1} \\ &\ddots &0 &\vdots \\ {(0)}& &1 &a_{n-1}\\\end{pmatrix}\).

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-ev de dimension \(n\), \(\mathcal B = (e_{1},\dots,e_n)\) une base de \(E\) et \(\varphi\) l’endomorphisme de \(E\) de matrice \(M\) dans \(\mathcal B\).

  1. Déterminer le polynôme caractéristique de \(M\).

  2. Calculer \(\varphi ^k(e_{1})\) pour \(0\leq k\leq n\).

  3. En déduire que \(\mu _M = P\).


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[ID: 3726] [Date de publication: 14 mars 2024 22:03] [Catégorie(s): Polynôme caractéristique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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