Soit \(a_{1},\dots,a_n,b_{1},\dots,b_n \in \mathbb{R}\) et \(A_n=\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1} &b_{2} &\dots&\dots&b_n \\ b_{1} &a_{2}+b_{2} &b_{3} &\dots&b_n \\ \vdots &b_{2} &\ddots &\ddots &\vdots \\ \vdots &\vdots &\ddots &\ddots &b_n \\ b_{1} &b_{2} &\dots&b_{n-1} & a_n+b_n\\\end{pmatrix}\)

  1. Calculer \(\det A_n\).

  2. Calculer \(\chi_A\), le polynôme caractéristique de \(A\).

  3. On suppose \(a_{1}<a_{2}<\dots<a_n\) et, pour tout \(i\), \(b_i>0\). Montrer que \(A_n\) est diagonalisable (on pourra utiliser \({\chi_A(t)}/{\prod _{i=1}^n (a_i-t)}\)).

  4. Le résultat reste-t-il vrai si l’on suppose \(a_{1}\leq a_{2}\leq \dots\leq a_n\) et, pour tout \(i\), \(b_i>0\) ?


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[ID: 3722] [Date de publication: 14 mars 2024 22:03] [Catégorie(s): Polynôme caractéristique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Centrale MP 2000
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:03
  1. \(a_{1}\dots a_n + b_{1}a_{2}\dots a_n + a_{1}b_{2}a_{3} \dots a_n +\dots+ a_{1}\dots a_{n-1}b_n\).

  2. \(\dfrac{\chi_A(t)}{\prod _{i=1}^n (a_i-t)} = 1 + \sum_{i=1}^n \dfrac{b_i}{a_i-t}\) change de signe entre deux \(a_i\) successifs et dans l’un des intervalles \(]-\infty ,a_{1}[\) ou \(]a_n,+\infty [\) donc \(\chi_A\) admet \(n\) racines distinctes.

  3. Oui. Supposons par exemple \(a_{1}=\dots=a_p<a_{p+1}<\dots<a_n\) : La question précédente met en évidence \(n-p\) racines simples de \(\chi_A\) entre les \(a_i\) et \(\pm \infty\), et \(a_{1}\) est aussi racine d’ordre \(p-1\) de \(\chi_A\). Or les \(p\) premières lignes de \(A-a_{1}I\) sont égales donc \(\mathop{\rm rg}\nolimits(A-a_{1}I)\leq n-p+1\) et \(\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits(A-a_{1}I))\geq p-1\) d’où la diagonalisabilité. Le cas où il y a plusieurs groupes de \(a_i\) égaux se traite de même.


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