On considère la matrice de \(M_n(\mathbb{C})\), \(A=\begin{pmatrix}0 &a &\dots&a \\ b &\ddots &\ddots &\vdots \\ \vdots &\ddots &\ddots &a \\ b &\dots&b &0 \\\end{pmatrix}\), \(a\neq b\).

  1. Montrer que le polynôme caractéristique de \(A\) est \(\dfrac{1}{a-b}(a(X+b)^n -b(X+a)^n )\).

  2. Montrer qu’en général les valeurs propres de \(A\) sont sur un cercle.

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[ID: 3720] [Date de publication: 14 mars 2024 22:03] [Catégorie(s): Polynôme caractéristique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Centrale MP 2000
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:03

  1. \(\det(M+(t))\) est une fonction affine de \(t\).

  2. \(|\lambda +a| = k|\lambda +b|\) et \(\lambda =x+iy \Rightarrow (1-k^2 )(x^2 +y^2 )+\dots= 0\), équation d’un cercle si \(|a|\neq |b|\).

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