Soient \(x_{1},\dots,x_n,y_{1},\dots,y_n \in \mathbb{C}\). Calculer \(\Delta _n = \det(I+(x_iy_j))\).


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[ID: 3718] [Date de publication: 14 mars 2024 22:03] [Catégorie(s): Polynôme caractéristique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(I+(x_iy_j)\)
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:03

Soit \(M = (x_iy_j)\) : \(M\) est de rang inférieur ou égal à \(1\), donc \(0\) est valeur propre de \(M\) d’ordre au moins \(n-1\). Comme \(\mathop{\rm tr}\nolimits(M) = x_{1}y_{1} +\dots+ x_ny_n\), le polynôme caractéristique de \(M\) est \[\chi_M(x) = (-x)^{n-1}(x_{1}y_{1} +\dots+ x_ny_n - x),\] et le déterminant demandé est \(\Delta _n = \chi_M(-1) = x_{1}y_{1} +\dots+ x_ny_n + 1\).


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