On considère pour \(n \in \mathbb{N}^*\) le polynôme défini par : \(P_n(x) = x^n - \sum_{i=0}^{n-1} \alpha _ix^i\) avec \(\alpha _{0} >0\) et \(\alpha _i\geq 0\) pour \(1\leq i\leq n-1\).

  1. Montrer qu’il existe une unique racine dans \(\mathbb{R}^{+*}\) pour \(P_n\).

  2. Soit \(A = \begin{pmatrix}1 &1 &0 &\dots&0 \\ 2 &0 &1 &\ddots &\vdots \\ \vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0 \\ \vdots &\vdots & &\ddots &1 \\ n &0 &\dots&\dots&0 \\\end{pmatrix}\). Montrer que \(A\) admet une unique valeur propre réelle strictement positive.


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[ID: 3716] [Date de publication: 14 mars 2024 22:03] [Catégorie(s): Polynôme caractéristique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Matrice compagne
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:03
  1. La fonction \(f_n : x \mapsto P_n(x)/x^n\) croît strictement de \(-\infty\) à 1 quand \(x\) varie de \(0\) à \(+\infty\).

  2. \(\chi_A(x) = (-1)^n (x^n - \sum_{k=1}^n kx^{n-k})\).


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