Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) telle que \(a_{ij} = i/j\). \(A\) est-elle diagonalisable ?


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[ID: 3714] [Date de publication: 14 mars 2024 22:03] [Catégorie(s): Polynôme caractéristique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\((i/j)\)
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:03

\(\mathop{\rm rg}\nolimits A = 1\) donc \(\dim\mathop{\rm Ker}\nolimits A = n-1\) et \(0\) est valeur propre d’ordre au moins \(n-1\). La somme des valeurs propres est \(\mathop{\rm tr}\nolimits A = n\) donc la dernière valeur propre est \(n\) et le sous-espace propre associé est de dimension \(1\). Donc \(A\) est diagonalisable.


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