Soit \(C = \begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\ a_n\end{pmatrix} \in \mathcal M _{n,1}(\mathbb{R})\) et \(M = C\,{ }^tC\).

  1. Chercher le rang de \(M\).

  2. En déduire le polynôme caractéristique de \(M\).

  3. \(M\) est-elle diagonalisable ?


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[ID: 3712] [Date de publication: 14 mars 2024 22:03] [Catégorie(s): Polynôme caractéristique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Éléments propres de \(C\,{ }^tC\)
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 22:03
  1. 1 si \(C \neq 0\), 0 si \(C = 0\).

  2. \(\dim(E_{0} ) \geq n-1 \Rightarrow X^{n-1}\) divise \(\chi_M \Rightarrow \chi_M = (-1)^n (X^n - (a_{1}^2 +\dots+a_n^2 )X^{n-1})\).

  3. Oui.


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