Soit \(A=\begin{pmatrix}a_{1} &1 & &{(0)}\\ a_{2} & &\ddots & \\ \vdots & & &1 \\ a_n &{(0)}& &0 \\\end{pmatrix}\) où les \(a_i\) sont des réels positifs ou nuls, avec \(a_{1}a_n > 0\).

  1. Quel est le polynôme caractérique de \(A\) ?

  2. Montrer que \(A\) admet une unique valeur propre \(r>0\) et que l’on a \(r < 1 + \max(a_{1},\dots,a_n)\).

  3. Soit \(\lambda\) une valeur propre complexe de \(A\). Montrer que \(|\lambda | \leq r\) et \(|\lambda |=r \Rightarrow \lambda =r\).

  4. Montrer qu’il existe un entier \(k\) tel que \(A^k\) a tous ses coefficients strictement positifs.


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[ID: 3698] [Date de publication: 14 mars 2024 21:52] [Catégorie(s): Calculs effectifs ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Étude d’une matrice
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 21:52
  1. \((-1)^n (X^n -a_nX^{n-1}-\dots-a_{1})\).

  2. Étude de \(x\mapsto (x^n -a_nx^{n-1}-\dots-a_{1})/x^n\).

  3. Inégalité triangulaire.

  4. Expression générale de \(A^k\).


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