Soit \(f \in \mathcal L (\mathbb{R}_n[X])\) qui à \(P\) associe \((X-a)P'+P-P(a)\). Donner la matrice de \(f\) dans la base \((X^k)_{0\leq k\leq n}\). Chercher \(\mathop{\rm Im}\nolimits f\), \(\mathop{\rm Ker}\nolimits f\) et les éléments propres de \(f\).


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[ID: 3694] [Date de publication: 14 mars 2024 21:52] [Catégorie(s): Calculs effectifs ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\((X-a)P'+P-P(a)\)
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 21:52

\(M = \begin{pmatrix} 0 &-2a &-a^2 &\dots&-a^n \\ &2 &-2a & &{(0)}\\ & &3 &\ddots \\ & & &\ddots &-na \\ {(0)}& & & &n+1 \\\end{pmatrix}\).

\(\mathop{\rm Ker}\nolimits f = \{ \text{polynômes constants}\}\), \(\mathop{\rm Im}\nolimits f = \{ \text{polynômes divisibles par } X-a \}\).

Valeurs propres : \(0,2,3,\dots,n+1\). Pour \(2\leq k\leq n+1\), \(E_k = \mathop{\rm vect}\nolimits((X-a)^{k-1})\).


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