Soit \(M=(m_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) telle que : \(\forall i,j\), \(m_{ij} \geq 0\) et \(\forall i\), \(m_{i,1} + m_{i,2} +\dots+ m_{i,n} = 1\) (matrice stochastique).

  1. Montrer que 1 est valeur propre de \(M\).

  2. Soit \(\lambda\) une valeur propre complexe de \(M\). Montrer que \(|\lambda | \leq 1\) (si \((x_{1},\dots,x_n)\in \mathbb{C}^n\) est un vecteur propre associé, considérer le coefficient \(x_k\) de plus grand module). Montrer que si tous les coefficients \(m_{ij}\) sont strictement positifs alors \(|\lambda | = 1 \Rightarrow \lambda = 1\).


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[ID: 3682] [Date de publication: 14 mars 2024 21:52] [Catégorie(s): Calculs effectifs ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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