Déterminer les valeurs propres de la matrice \(A = \begin{pmatrix} 1 &-1 & & &{(0)}\\ -1 &2 &-1 & & \\ &\ddots &\ddots &\ddots & \\ & &-1 &2 &-1 \\ {(0)}& & &-1 &1 \\\end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\).


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[ID: 3666] [Date de publication: 14 mars 2024 21:51] [Catégorie(s): Calculs effectifs ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Matrice tridiagonale
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 21:51

Soit \(P_n(x)\) le polynôme caractéristique de \(A\) et \(Q_n(x)\) celui de la matrice obtenue à partir de \(A\) en remplaçant le premier \(1\) par \(2\). On a les relations de récurrence : \[P_n(x) = (1-x)Q_{n-1}(x) - Q_{n-2}(x),\qquad Q_n(x) = (2-x)Q_{n-1}(x) - Q_{n-2}(x).\] D’où pour \(x\not\in \{ 0,4\}\) : \[P_n(x) = \dfrac{(1-\alpha )(1-\alpha ^{2n})}{\alpha ^n (1+\alpha )},\qquad\text{avec } x = 2 - \alpha - \dfrac1\alpha .\] Les valeurs propres de \(A\) autres que \(0\) et \(4\) sont les réels \(x_k=2(1-\cos(k\pi /n))\) avec \(0<k<n\) et \(0\) est aussi valeur propre (somme des colonnes nulle) donc il n’y en a pas d’autres.


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