Soit \(A = \begin{pmatrix}0 &1 & &{(0)}\\ 1 &\ddots &\ddots \\ &\ddots &\ddots &1 \\ {(0)}& &1 &0 \\\end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\).

  1. Calculer \(D_n(\theta ) = \det(A+(2\cos\theta ) I)\) par récurrence.

  2. En déduire les valeurs propres de \(A\).


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[ID: 3664] [Date de publication: 14 mars 2024 21:51] [Catégorie(s): Calculs effectifs ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Polynômes de Chebychev
Par Michel Quercia le 14 mars 2024 21:51
  1. \(D_n = 2\cos\theta D_{n-1} - D_{n-2} \Rightarrow D_n = \dfrac{\sin(n+1)\theta }{\sin\theta }\).

  2. \(-2\cos\left(\dfrac{k\pi }{n+1}\right)\), \(1 \leq k \leq n\).


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