Soit \(\sum a_nz^n\) de rayon \(R\) et \(f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\).

  1. Soit \(0\leq r<R\). Calculer en fonction de \(a_n,r\) et \(n\) l’intégrale \(\int _{\theta =0}^{2\pi }f(re^{i\theta })e^{-in\theta }\,d \theta\).

  2. \(\,\)

    1. On suppose que \(R=+\infty\) et que \(f\) est bornée sur \(\mathbb{C}\). Montrer qu’alors \(f\) est constante.

    2. On suppose qu’il existe \(P\in \mathbb{R}[X]\) tel que, pour tout \(z\in \mathbb{C}\), \(|f(z)|\leq |P(z)|\). Montrer que \(f\) est un polynôme.

  3. \(\,\)

    1. On suppose que les \(a_n\) sont réels. Montrer que \(\sum a_n^2 r^{2n}\) est convergente et exprimer sa somme en fonction de \(f\).

    2. On suppose que \(R\geq 1\), que pour tout \(n\), \(a_n\in \mathbb{Z}\) et que \(f\) est bornée sur le disque unité ouvert. Montrer que \(f\) est un polynôme.

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[ID: 3650] [Date de publication: 13 mars 2024 22:28] [Catégorie(s): Divers ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Polynômes, Centrale 2013
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:28

  1. \(\int _{\theta =0}^{2\pi }f(re^{i\theta })e^{-in\theta }\,d \theta =\int _{\theta =0}^{2\pi }\sum_{k=0}^\infty a_kr^ne^{i(k-n)\theta }\,d \theta\). Pour tout \(\theta \in [0,2\pi ]\), \(|a_kr^n e^{i(k-n)\theta }|\leq |a_n|r^n\) qui est le terme général d’une série convergente. La série de fonctions (de la variable \(\theta\)) converge donc normalement sur \([0,2\pi ]\). On a donc \(\int _{\theta =0}^{2\pi }f(re^{i\theta })e^{-in\theta }\,d \theta =\sum_{k=0}^\infty a_kr^k\int _{\theta =0}^{2\pi }e^{i(k-n)\theta }\,d \theta =2\pi a_nr^n\).

    1. On a, pour tout \(n\), \(2\pi |a_n|r^n\leq \int _{\theta =0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|\,d \theta \leq 2\pi \left\|f\right\|_\infty\). On divise par \(r^n\) et on fait tendre \(r\) vers l’infini. Il vient \(a_n=0\) pour tout \(n\geq 1\) donc \(f\) est constante.

    2. On pose \(P(z)=\sum_{k=0}^db_kz^k\). On a, pour tous \(r\) et \(n\), \(|a_n|r^n\leq \sum_{k=0}^d|b_k|r^k\). Pour \(n\geq d+1\) on divise par \(r^n\) et on fait tendre \(r\) vers \(+\infty\). Il vient \(a_n=0\) et \(f\) est un polynôme.

    1. \(\int _{\theta =0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^2 d \theta =\int _{\theta =0}^{2\pi }\sum_{n,p\in \mathbb{N}}a_n\overline{a_p}r^{n+p}e^{i(n-p)\theta }\,d \theta =2\pi \sum_{n\in \mathbb{N}}|a_n|^2 r^{2n}\).

    2. Soit \(M\) tel que, pour tout \(|z|<1\), \(|f(z)|\leq M\).

      Pour tout \(n\), pour tout \(r<1\) on a \(\sum_{k=0}^n a_k^2 r^{2k}\leq \sum_{k=0}^\infty a_k^2 r^{2k}\leq M^2\). On peut faire tendre \(r\) vers \(1\) et en déduire que, pour tout \(n\), \(\sum_{k=0}^na_k^2 \leq M^2\). On en déduit que la série \(\sum a_k^2\) converge. En particulier la suite \(a_k\) converge vers \(0\). Or c’est une suite d’entiers donc elle est nulle à partir d’un certain rang, ce qui montre que \(f\) est un polynôme.

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