Soit \(D\) le disque ouvert de \(\mathbb{C}\) de centre \(0\) et rayon \(1\).

  1. Soit \(\varphi (z) = \sum_{n\in \mathbb{N}}a_nz^n\) une série entière de rayon \(R\geq 1\) et \(r\in {]0,1[}\). Montrer que \[a_n = \dfrac1{2\pi r^n }\int _{\theta =0}^{2\pi }\varphi (re^{i\theta })e^{-in\theta }\,d \theta .\]

  2. Soit \(E\) l’ensemble des fonctions de \(\overline D\) dans \(\mathbb{C}\) continues et dont la restriction à \(D\) est somme d’une série entière. Montrer que \(f\mapsto \left\|f\right\| = \sup\{ |f(z)|,\ z\in \overline D\}\) définit une norme sur \(E\) et que pour cette norme \(E\) est complet.

  3. Montrer que l’ensemble des polynômes à coefficients complexes est dense dans \(E\).


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[ID: 3648] [Date de publication: 13 mars 2024 22:28] [Catégorie(s): Divers ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

X MP\(^*\) 2001
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:28
  1. Complétude : soit \((f_k)\) une suite d’éléments de \(E\) de Cauchy, \(f_k(z) = \sum_{n\in \mathbb{N}}a_{n,k}z^n\). On a à \(k\) et \(n\) fixés, par convergence dominée : \[\dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }f_k(e^{i\theta })e^{-in\theta }\,d \theta = \lim_{r\to 1^-}\dfrac1{2\pi r^n }\int _{\theta =0}^{2\pi }f_k(re^{i\theta })e^{-in\theta }\,d \theta = a_{n,k}.\] La suite \((f_k)\) converge uniformément sur \(\overline D\) vers une fonction \(\varphi :{\overline D}\to \mathbb{C}\) continue. On note : \[a_n = \dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\varphi (e^{i\theta })e^{-in\theta }\,d \theta = \lim_{k\to \infty } a_{n,k}.\] La suite \((a_n)\) est bornée, donc le rayon de convergence de \(\sum_{n\in \mathbb{N}}a_nz^n\) est supérieur ou égal à \(1\). Pour \(z\in D\) fixé on a alors : \[\begin{aligned} f_k(z) &= \sum_{n\in \mathbb{N}}a_{n,k}z^n = \dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\Bigl(\sum_{n\in \mathbb{N}}f_k(e^{i\theta })e^{-in\theta }z^n \Bigr)\,d \theta = \dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{f_k(e^{i\theta })}{1-ze^{-i\theta }}\,d \theta \\ &\to _{k\to \infty }\dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{\varphi (e^{i\theta })}{1-ze^{-i\theta }}\,d \theta = \dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\Bigl(\sum_{n\in \mathbb{N}}\varphi (e^{i\theta })e^{-in\theta }z^n \Bigr)\,d \theta = \sum_{n\in \mathbb{N}}a_nz^n \end{aligned}\] ce qui prouve que \(\varphi \in E\). Enfin on a \(\left\|f_k-\varphi \right\| \to _{k\to \infty }0\) par convergence uniforme, d’où \(\varphi = \lim_{k\to \infty }f_k\) dans \(E\).

  2. Soit \(f\in E\) et \(f_n(z) = f\Bigl(\dfrac{nz}{n+1}\Bigr)\). Comme \(f\) est uniformément continue, \(f_n\) converge uniformément vers \(f\) sur \(\overline D\). Soit \(\varepsilon>0\) et \(n\) tel que \(\left\|f-f_n\right\|_\infty \leq \varepsilon\). Comme \(f_n\) est développable en série entière avec un rayon au moins égal à \(1+\dfrac1n\), son développement converge uniformément vers \(f_n\) sur \(\overline D\) donc il existe \(P\in \mathbb{C}[X]\) tel que \(\left\|f_n-P\right\|_\infty \leq \varepsilon\).


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