Soit \(A\) l’ensemble des suites \((a_n)\) de complexes telles que la série entière \(\sum a_nz^n\) a un rayon non nul. On munit \(A\) de l’addition terme à terme et du produit de Cauchy noté \(*\).

  1. Vérifier que \(A\) est un anneau intègre. Quels sont les éléments de \(A\) inversibles ?

  2. Soit \(I_k =\{ a=(a_n)\in A\text{ tq }a_0=\dots=a_k = 0\}\). Montrer que les idéaux de \(A\) sont \(\{ 0\}\), \(A\) et les \(I_k\), \(k\in \mathbb{N}\).

  3. Soit \(f(x) = 2-\sqrt {\dfrac{1-2x}{1-x}}\). Montrer que \(f\) est développable en série entière sur \(]-\frac12,\frac12[\) et que si \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty u_nx^n\) alors la suite \((u_n)\) vérifie la relation de récurrence : \(2u_{n+1} = 1 + \sum_{k=1}^n u_ku_{n+1-k}\).

  4. Soit \(a=(a_n)\in A\) avec \(a_0=1\) et \(|a_n|\leq 1\) pour tout \(n\). Montrer qu’il existe une unique suite \(b=(b_n)\in A\) telle que \(b_0 = 1\) et \(b*b = a\). Pour prouver que le rayon de convergence de \(b\) est non nul on établira par récurrence que \(|b_n| \leq u_n\).

  5. Pour \(a\in A\) quelconque, étudier l’équation \(b*b = a\) d’inconnue \(b\in A\).


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[ID: 3645] [Date de publication: 13 mars 2024 22:28] [Catégorie(s): Divers ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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