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[ID: 3658] [Date de publication: 13 mars 2024 22:38] [Catégorie(s): Analycité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Centrale MP 2002
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:38

1. \(\dfrac z{(1-z)^2 } = \sum_{n=1}^\infty nz^n\) (\(R=1\)).

   Pour \(z,t\in \overset{\circ}{D} (0,1)\) on a \(\dfrac{z}{(1-z)^2 } - \dfrac{t}{(1-t)^2 } = \dfrac{(z-t)(1-zt)}{(1-z)^2 (1-t)^2 }\), quantité nulle si et seulement si \(z=t\), d’où l’injectivité de \(z\mapsto \dfrac z{(1-z)^2 }\).

2. 1. \(f(z)\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(z) = \overline{f(z)} = f(\overline z) \Leftrightarrow z=\overline z \Leftrightarrow z\in \mathbb{R}\).

      Par injectivité, on en déduit que \(\mathop{\rm Im}\nolimits(f(z))\) garde un signe constant sur chaque demi-disque limité par \(]-1,1[\), et comme \(f(z) = z + o_{z\to 0}(z)\), ce signe est celui de \(\mathop{\rm Im}\nolimits z\).

   2. \(\int _{t=0}^{\pi }\mathop{\rm Im}\nolimits(f(re^{it}))\sin nt\,d t = \dfrac{\pi a_nr^n }2\). On a \(|\sin(nt)|\leq n\sin(t)\) pour \(0\leq t\leq \pi\) par récurrence, donc \(\dfrac{\pi |a_n|r^n }2 \leq n\int _{t=0}^{\pi }\mathop{\rm Im}\nolimits(f(re^{it}))\sin t\,d t = \dfrac{n\pi a_1r}2\). On en déduit \(|a_n|r^n \leq n|a_1|r\) et on conclut \(|a_n|\leq n\) en faisant tendre \(r\) vers \(1\).