Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence infini. Montrer l’équivalence entre les propriétés :

: Pour tout \(a > 0\), la fonction \(z\mapsto f(z)e^{-a|z|}\) est bornée sur \(\mathbb{C}\).

: \(\root n\of{n!\,|a_n|} \to _{n\to \infty }0\).

On utilisera les formules de Cauchy (cf. exercice [Cauchy]).

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[ID: 3656] [Date de publication: 13 mars 2024 22:33] [Catégorie(s): Analycité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Croissance de \(f\) en fonction des coefficients
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:33

\(2\Rightarrow 1\) : évident.

\(1\Rightarrow 2\) : Soit \(a > 0\) et \(M = \sup(|f(z)|e^{-a|z|})\).

\(a_n = \dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi } \dfrac{f(Re^{i\theta })}{R^n e^{in\theta }}\,d\theta \Rightarrow |a_n| \leq M\dfrac{e^{aR}}{R^n } \leq M\inf\limits_{R>0}\dfrac{e^{aR}}{R^n } = M\left(\dfrac{ea}n\right)^n\).

Donc \(\root n\of{n!\,\left\|a_n\right\|}\leq \root n\of{n!}\dfrac{ea}n \to _{n\to \infty }a\). CQFD

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