Lecture zen
**
Formules de Cauchy
Soit \(U\) un ouvert de \(\mathbb{C}\) contenant \(0\) et \(f:U\to \mathbb{C}\) analytique. On note \(\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) le développement en série entière de \(f\) en \(0\), \(R\) son rayon et \(d\) la distance de \(0\) à \(\mathop{\rm fr}\nolimits(U)\) (\(d=+\infty\) si \(U=\mathbb{C}\)).
Montrer, pour \(0<r<\min(R,d)\) et \(n\in \mathbb{N}\) : \(a_n = \dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{f(re^{i\theta })}{r^n e^{in\theta }}\,d \theta\).
Montrer que l’application \(r\mapsto \int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{f(re^{i\theta })}{e^{in\theta }}\,d \theta\) est analytique sur \([0,d[\) (minorer le rayon de convergence du DSE de \(f\) en \(r_0e^{i\theta }\) et majorer en module les coefficients lorsque \(\theta\) décrit \([0,2\pi ]\) et \(r_0\) est fixé dans \([0,d[\) à l’aide d’un recouvrement ouvert de \([0,2\pi ]\)). En déduire que l’égalité du [formule-c] a lieu pour tout \(r\in {[0,d[}\).
Pour \(0<r<d\) et \(|z|<r\) on pose \(g(z)= \dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{f(re^{i\theta })}{re^{i\theta }-z}re^{i\theta }\,d \theta\). Montrer que \(g\) est la somme d’une série entière de rayon supérieur ou égal à \(r\) et que \(g\) coïncide avec \(f\) sur \(\overset{\circ}{D} (0,r)\).
Applications :
\(R\geq d\).
Si \(U=\mathbb{C}\) et \(f\) est bornée alors \(f\) est constante (thm de Liouville).
Si \(P\in \mathbb{C}[X]\) ne s’annule pas alors \(P\) est constant (thm de d’Alembert-Gauss).
Si \((f_n)\) est une suite de fonctions analytiques convergeant uniformément sur \(U\) vers une fonction \(f\) alors \(f\) est analytique sur \(U\) (thm de Weierstrass, comparer avec le cas réel).
La composée de deux fonctions analytiques est analytique.
Barre utilisateur
[ID: 3653] [Date de publication: 13 mars 2024 22:31] [Catégorie(s): Analycité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Formules de Cauchy
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:31
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:31
calcul.
Soit \(0<r_0<d\) et \(R(\theta )\) le rayon de la série de Taylor de \(f\) en \(r_0e^{i\theta }\). Le cercle de centre \(0\) et de rayon \(r_0\) est recouvert par les disques ouverts \(D(r_0e^{i\theta }, \frac12R(\theta ))\), \(\theta\) variant de \(0\) à \(2\pi\), donc on peut en extraire un recouvrement fini ; soit \(\rho\) le rayon minimum des disques extraits. Alors pour \(0\leq \theta \leq 2\pi\) on a \(R(\theta ) \geq \rho\) (cf. analycité de la somme d’une série entière dans le disque ouvert de convergence). D’après la première question on a : \(\Bigl|\dfrac{f^{(n)}(r_0e^{i\theta })}{n!}\Bigr| \leq \dfrac M{\rho ^n }\) où \(M\) majore \(|f|\) sur \(\overline D(0,r_0+\rho )\) d’où pour \(|r-r_0|<\rho\) : \[\int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{f(re^{i\theta })}{e^{in\theta }}\,d \theta = \int _{\theta =0}^{2\pi } \sum_{k=0}^\infty \dfrac{f^{(k)}(r_0e^{i\theta })}{k!} (r-r_0)^k e^{i(k-n)\theta }\,d \theta = \sum_{k=0}^\infty (r-r_0)^k \int _{\theta =0}^{2\pi } \dfrac{f^{(k)}(r_0e^{i\theta })}{k!} e^{i(k-n)\theta }\,d \theta .\] ce qui démontre l’analycité de \(\varphi = r\mapsto \int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{f(re^{i\theta })}{e^{in\theta }}\,d \theta\) sur \(]0,d[\). Enfin, \(\varphi (r) = a_nr^n\) au voisinage de \(0\) d’où \(\varphi (r) = a_nr^n\) sur \([0,d[\) par prolongement analytique.
\(g(z)= \dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{f(re^{i\theta })}{re^{i\theta }-z}re^{i\theta }\,d \theta = \sum_{k=0}^\infty \dfrac{z^k}{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{f(re^{i\theta })}{r^ke^{ik\theta }}\,d \theta = \sum_{k=0}^\infty a_kz^k\).
Le rayon est au moins égal à \(r\) car \(f\) est bornée sur \(\overline D(0,r)\).
Applications :
\(R\geq d\).résulte de 3.
D’après 1, \(|a_n| \leq \left\|f\right\|_\infty /r^n\) pour tout \(r>0\) donc \(a_n = 0\) si \(n\geq 1\).
\(1/P\) est analytique bornée sur \(\mathbb{C}\).
On peut passer à la limite uniforme (ou dominée) dans 3.
\(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n \Rightarrow f\circ g(z) = \sum_{n=0}^\infty a_ng^n (z)\) et il y a convergence localement uniforme.
Documents à télécharger
L'exercice