Soit l’équation fonctionnelle \((E)\) : \(f'(x)=\alpha f(x)+f(\lambda x)\), avec \(\alpha \in \mathbb{R}\), \(\lambda \in {]-1,1[}\). On cherche \(S_E\) l’ensemble des solutions de \((E)\) de classe \(\mathcal C ^1\) sur \(\mathbb{R}\).

  1. Montrer que toute solution est de classe \(\mathcal C ^\infty\).

  2. Trouver les solutions développables en série entière.

  3. Trouver l’ensemble \(S_E\).


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[ID: 3634] [Date de publication: 13 mars 2024 22:21] [Catégorie(s): Equations différentielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Mines 2017
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:21
  1. Si \(f\) est de classe \(\mathcal C ^k\), alors \(x\mapsto \alpha f(x)+f(\lambda x)\) est de classe \(\mathcal C ^k\), c’est-à-dire \(f'\) de classe \(\mathcal C ^k\) ou encore \(f\) de classe \(\mathcal C ^{k+1}\). On en déduit que toute solution de \((E)\) est de classe \(\mathcal C ^\infty\).

  2. On cherche une solution de \((E)\) sous la forme \(f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\). Alors \(0=\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}-\alpha \sum_{n=0}^\infty a_n x^n-\sum_{n=0}^\infty a_n \lambda ^n x^n =_{n=0}^\infty ((n+1)a_{n+1}-(\alpha +\lambda ^n))x^n\). On a donc, pour tout \(n\), \(a_{n+1}=\frac{\alpha +\lambda ^n}{n+1}a_n\), puis \(a_n=\frac{(\alpha +\lambda ^{n-1})\dots(\alpha +\lambda )}{n!}a_{0}\). On a \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\to _{n\to \infty }0\), donc le rayon de convergence de la série entière est infini.

  3. On cherche \(f\) vérifiant \((E)\) telle que \(f(0)=a_{0}\). En résolvant le problème de Cauchy \(\begin{cases}y'-\alpha y=f(\lambda x)\\ y(0)=a_{0} \\\end{cases}\), on obtient \(f(x)=a_{0} e^{\alpha x} +e^{\alpha x} \int _{0} ^x e^{-\alpha t} f(\lambda t)d t\). Soient \(f\) et \(g\) solutions du problème : on a pour tout \(x\), \(f(x)-g(x)=e^{\alpha x} \int _{0} ^x e^{-\alpha t} (f-g)(\lambda t)\,d t\). Soit \(A>0\), on pose \(M=\sup\{ |f(t)-g(t)|, t\in [-A,A]\}\). On a \(M\leq e^{|\alpha |A}AM\), et donc \(M=0\) si \(Ae^{|\alpha |A}< 1\). Soit \(\beta >0\) tel que \(\beta e^{|\alpha |\beta }=1\). Par monotonie de la fonction \(x\mapsto xe^{|\alpha |x}\) sur \([0,+\infty [\), on a pour tout \(x<\beta\), \(xe^{|\alpha |x}<1\) et donc \(f-g\) nulle sur \([-x,x]\). On en déduit que \(f=g\) sur \([-\beta ,\beta ]\). En considérant le problème de Cauchy \(\begin{cases}y'-\alpha y=f(\lambda x)\\ y(\beta )=f(\beta ),\\\end{cases}\) on montre que \(f=g\) sur \([\beta ,2\beta ]\). On itère et on montre que \(f=g\) sur \(\mathbb{R}^+\), puis sur \(\mathbb{R}\). Finalement \(S_E\) est la droite vectorielle des solutions développables en série entière.


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