Lecture zen
**
DSE de \(\tan x\).
Pour \(a,b\in \mathbb{R}\) avec \(b\not\equiv 0\pmod{\pi }\), vérifier l’identité : \(\dfrac{(1+ia) - e^{ib}(1-ia)}{1-e^{ib}} = 1 - \dfrac a{\tan(b/2)}\).
Pour \(a,b\in \mathbb{C}\) et \(n\in \mathbb{N}^*\), vérifier l’identité : \(a^n + b^n = \prod _{k=0}^{n-1}(a-be^{i(2k+1){\pi /n}})\).
Pour \(x\in \mathbb{R}\) et \(p\in \mathbb{N}^*\), vérifier l’identité : \(\dfrac{\Bigl(1+\dfrac{ix}{2p}\Bigr)^{2p} + \Bigl(1-\dfrac{ix}{2p}\Bigr)^{2p}}{\vrule height 10pt width 0pt 2} = \prod _{k=0}^{p-1}\Bigl(1-\dfrac{x^2 }{4p^2 \tan^2 \dfrac{(2k+1)\pi }{4p}}\Bigr)\).
Démontrer alors : \(\forall x\in {]-\frac\pi 2,\frac\pi 2[},\ \ln(\cos x) = \sum_{k=0}^\infty \ln\Bigl(1-\dfrac{4x^2 }{(2k+1)^2 \pi ^2 }\Bigr)\).
En déduire : \(\forall x\in {]-\frac\pi 2,\frac\pi 2[},\ \tan x = \sum_{k=0}^\infty \dfrac{8x}{(2k+1)^2 \pi ^2 - 4x^2 }\).
Pour \(n\in \mathbb{N}\) avec \(n\geq 2\), vérifier l’identité : \(\sum_{k=0}^\infty \dfrac1{(2k+1)^n } = \dfrac{2^n -1}{\vrule height 10pt width 0pt 2^n }\zeta (n)\).
Démontrer enfin : \(\forall x\in {]-\frac\pi 2,\frac\pi 2[},\ \tan x = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{2(4^n -1)}{\pi ^{2n}}\zeta (2n)x^{2n-1}\).
Barre utilisateur
[ID: 3633] [Date de publication: 13 mars 2024 22:21] [Catégorie(s): Equations différentielles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Documents à télécharger
L'exercice