On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{n!\,x^{2n+1}}{1.3.5\dots(2n+1)}\).

  1. Déterminer le rayon de convergence.

  2. Étudier la convergence aux bornes de l’intervalle de convergence.

  3. Calculer \(f(x)\).


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[ID: 3621] [Date de publication: 13 mars 2024 22:21] [Catégorie(s): Equations différentielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Calcul de somme
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:21
  1. Déterminer le rayon de convergence. \(R=\sqrt 2\).

  2. Stirling \(\Rightarrow a_n{\sqrt 2\,}^{2n+1} \sim \dfrac2{\sqrt {\pi n}} \Rightarrow\) DV.

  3. \((x^2 -2)y' + xy + 2 = 0 \Rightarrow f(x) = \dfrac{2\arcsin (x/\sqrt 2\,)}{\sqrt {2-x^2 }}\).


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