On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n }{\binom{2n}{n}}\).

  1. Déterminer le rayon de convergence et montrer que \(f\) vérifie l’équation : \(x(4-x)y' - (x+2)y = -2\).

  2. Résoudre l’équation précédente pour \(x > 0\) (utiliser le DL de \(f\) en 0 à l’ordre 1 pour fixer la constante) et en déduire la somme de la série \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac 1{\binom{2n}{n}}\).


Barre utilisateur

[ID: 3619] [Date de publication: 13 mars 2024 22:21] [Catégorie(s): Equations différentielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(\sum_{n=0}^\infty \dfrac 1{\binom{2n}{n}}\)
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:21
  1. \(R=4\).

  2. \(y = 4\sqrt {\dfrac x{(4-x)^3}}\left(\sqrt {\dfrac{4-x}x} - \arctan\sqrt {\dfrac{4-x}x} + c\right)\). \(f(x) = 1 + \dfrac x2 + o(x) \Rightarrow c = \dfrac\pi 2\).

    \(\Rightarrow \sum_{n=0}^\infty \dfrac 1{\binom{2n}{n}} = \dfrac 43 + \dfrac{2\pi }{9\sqrt 3}\).


Documents à télécharger

\(\sum_{n=0}^\infty \dfrac 1{\binom{2n}{n}}\)
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice