On pose \(f(x) = \dfrac{\arcsin x}{\sqrt {1-x^2 }}\).

  1. Montrer que \(f\) admet un développement en série entière au voisinage de \(0\) et préciser le rayon de convergence.

  2. Chercher une équation différentielle d’ordre 1 vérifiée par \(f\). En déduire les coefficients du développement en série entière de \(f\).

  3. Donner le développement en série entière de \(\arcsin^2 x\).


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[ID: 3617] [Date de publication: 13 mars 2024 22:21] [Catégorie(s): Equations différentielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

DSE de \((arcsin x)^2\)
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:21
  1. Produit de deux séries \(\Rightarrow R \geq 1\). \(f(x) \to _{x\to 1^-}+\infty \Rightarrow R = 1\).

  2. \((1-x^2 )y' = xy+1 \Rightarrow (n+2)a_{n+2} = (n+1)a_n \Rightarrow a_{2k} = a_0\dfrac{\binom{2k}{k}}{4^k}\), \(a_{2k+1} = a_1\dfrac{4^k}{(2k+1)\binom{2k}{k}}\).

    \(a_0 = 0\), \(a_1 = 1 \Rightarrow y = \sum_{k=0}^\infty \dfrac{4^kx^{2k+1}}{(2k+1)\binom{2k}{k}}\).

  3. \(\arcsin^2 x = 2\int _{t=0}^x f(t)\,d t = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{2^{2k-1}x^{2k}}{k^2 \binom{2k}{k}}\).


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