Soit \(\varphi (x)=\dfrac{1}{\cos x}\) : on suppose que \(\varphi\) admet un développement en série entière, \(\varphi (x)=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{E_n}{(2n)!} x^{2n}\) valide pour tout \(x\in {]-\alpha ,\alpha [}\) avec \(\alpha \in {]0,\frac{\pi }{2}[}\).

  1. Montrer que, pour tout \(n\geq 1\), \(E_n=(-1)^{n+1} \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k\binom{2n}{2k} E_k\).

  2. On suppose que, pour tout \(x\in {]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[}\), \(\tan (x)=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{F_n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\). En utilisant la relation \(\tan '=1+\tan ^2\) montrer que, pour tout \(n\), \(F_n>0\).

  3. En utilisant \(\varphi '(x)\) montrer que, pour tout \(n\), \(E_{n+1}=\sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{2k} E_k F_{n-k}\).


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[ID: 3615] [Date de publication: 13 mars 2024 22:21] [Catégorie(s): Equations différentielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(1/\cos x\), Centrale 2014
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:21
  1. Pour tout \(x\in {]-\alpha ,\alpha [}\) les deux séries \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{E_n}{(2n)!} x^{2n}\) et \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\) sont absolument convergentes, leur produit de Cauchy est donc absolument convergent et de somme égale au produit des sommes. On obtient, pour tout \(x\in {]-\alpha ,\alpha [}\), \(1=\sum_{n=0}^\infty \biggl(\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^kE_{n-k}}{(2k)!(2n-2k)!}\biggr)x^{2n}\). Par unicité du développement en série entière on a, pour tout \(n\geq 1\), \(\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^kE_{n-k}}{(2k)!(2n-2k)!}=0\), ce qui donne \(E_n=(-1)^{n+1} \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \binom{2n}{2k} E_k\).

  2. \(\tan '=1+\tan ^2\), donc \(F_1=1>0\). Si l’on a \(\tan^{(2n+1)}=\sum_{j=0}^{n+1} \alpha _j \tan^{2j}\), alors \[\begin{aligned} \tan^{(2n+2)}&=\sum_{j=1}^{n+1} 2j \alpha _j \tan^{2j-1}(1+\tan^2 ),\\ \tan^{(2n+3)}&=\sum_{j=1}^{n+1} 2j(2j-1) \alpha _j \tan^{2j-2}(1+\tan^{2}) +2\sum_{j=1}^{n+1} 2j \alpha _j \tan^{2j}(1+\tan^{2}), \end{aligned}\] qui est bien de la forme \(\sum_{j=0}^{n+2} \beta _j \tan^{2j}\), avec pour tout \(j\), \(\beta _j>0\). On en déduit \(F_n>0\) pour tout \(n\).

  3. On a \(\varphi '(x)=\dfrac{\sin x}{\cos^2 (x)}=\tan (x) \varphi (x)\). On a donc, pour tout \(x\in {]-\beta ,\beta [}\) (où \(\beta =\min (\alpha ,\dfrac{\pi }{2})\)), \(\varphi '(x)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{E_n}{(2n-1)!} x^{2n-1}=\bigl(\sum_{k=0}^\infty \dfrac{F_k}{(2k+1)!}x^{2k+1}\bigr)\times \bigl(\sum_{p=0}^\infty \dfrac{E_p}{(2p)!}x^{2p}\bigr)\).

    En faisant un changement d’indice dans la première somme et en faisant le produit de Cauchy on a \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{E_{n+1}}{(2n+1)!} x^{2n+1}=\sum_{n=0}^\infty \biggl(\sum_{k=0}^n \dfrac{E_k F_{n-k}}{(2k)!(2n+1-k)!}\biggr) x^{2+1}\). On en déduit que, pour tout \(n\), \(E_{n+1}=\sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{2k} E_k F_{n-k}\).


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