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DSE de tan
En utilisant la relation : \(\tan' = 1 + \tan^2\), exprimer \(\tan^{(n)}\) en fonction de \(\tan,\dots,\tan^{(n-1)}\). En déduire que : \(\forall x \in {[0,\pi /2[}\), \(\tan^{(n)}(x) \geq 0\).
Montrer que la série de Taylor de \(\tan\) en 0 converge sur \(]-\pi /2,\pi /2[\).
Soit \(f\) la somme de la série précédente. Montrer que \(f' = 1+f^2\) et en déduire que \(f = \tan\).
Prouver que le rayon de convergence est exactement \(\pi /2\).
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[ID: 3613] [Date de publication: 13 mars 2024 22:21] [Catégorie(s): Equations différentielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
DSE de tan
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:21
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:21
\(\tan^{(n)} = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} \tan^{(k)}\tan^{(n-1-k)}\).
Pour \(0 \leq x < \pi /2\) la série est à termes positifs et les sommes partielles sont majorées par \(\tan x\). Pour \(-\pi /2 < x \leq 0\), il y a convergence absolue.
Si \(R > \pi /2\), \(f\) aurait une limite finie en \(\pi /2\).
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