Soit \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite réelle dont la série converge.

  1. Donner le domaine de convergence de la série entière \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{a_nx^n}{n!}\). On note \(f\) la fonction associée à la somme de cette série.

  2. Soit \((s_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite réelle telle que \(s_n\to _{n\to \infty }l \in \mathbb{R}\). On note, sous-réserve d’existence et pour \(x\in \mathbb{R}\), \(S(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{s_nx^n}{n!}\). Montrer que \(S(x)e^{-x}\to _{x\to +\infty }l\). Indication : se ramener au cas \(l =0\).

  3. Montrer que l’intégrale \(\int _{t=0}^{+\infty }f(t)e^{-t}\,d t\) converge et vaut \(\sum_{n=0}^\infty a_n\). Indication : poser \(s_n=\sum_{k=0}^{n-1}a_k\) et dériver \(S(x)e^{-x}\).

  4. A-t-on une réciproque au résultat précédent ?


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[ID: 3609] [Date de publication: 13 mars 2024 22:13] [Catégorie(s): Etudes au bord ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Mines 2017
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:13
  1. \(R=\infty\).

  2. La série \(S(x)\) converge car la suite \((s_n)\) est bornée.

    Cas \(l =0\) : pour \(\varepsilon>0\) il existe \(N\in \mathbb{N}\) tel que \(|a_n|\leq \varepsilon\) si \(n\geq N\).

    Alors pour \(x\geq 0\), \(|S(x)|\leq \sum_{n=0}^{N-1}\dfrac{|a_n|x^n}{n!} + \varepsilon\sum_{n=N}^\infty \dfrac{x^n}{n!}\leq P(x)+\varepsilon e^x\)\(P\) est un polynôme. Ainsi, pour \(x\) assez grand, on a \(|S(x)e^{-x}|\leq 2\varepsilon\) d’où \(S(x)e^{-x}\to _{x\to +\infty }0\).

    Pour \(l\) quelconque, on se ramène au cas précédent en considérant \(s_n-l\).

  3. \(\dfrac{d}{dx}(S(x)e^{-x}) = (S'(x)-S(x))e^{-x} = f(x)e^{-x}\).

    Donc \(\int _{t=0}^{+\infty }f(t)e^{-t}\,d t = [S(t)e^{-t}]_{t=0}^{+\infty } =s_\infty -s_{0} = \sum_{n=0}^\infty a_n\).

  4. Il se peut que \(\int _{t=0}^{+\infty }f(t)e^{-t}\,d t\) converge sans que la série \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) soit convergente, par exemple avec \(a_n=(-1)^n\) et \(f(t)=e^{-t}\). Par contre, si l’on suppose tous les \(a_n\) positifs alors \[\int _{t=0}^{+\infty }f(t)e^{-t}\,d t = \int _{t=0}^{+\infty }\Bigl(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{a_nt^ne^{-t}}{n!}\Bigr)\,d t = \sum_{n=0}^\infty \int _{t=0}^{+\infty }\dfrac{a_nt^ne^{-t}}{n!}\,d t = \sum_{n=0}^\infty a_n\] par intégration terme à terme, cas réel positif.


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