On considère la série de fonctions \(\sum(-1)^n \ln(n) x^n\).

  1. Donner le rayon de convergence de cette série entière.

  2. On note \(S\) sa somme. Montrer que, pour tout \(x\in {]-1,1[}\), \[S(x)=\dfrac{1}{1+x}\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \ln(1+\dfrac{1}{n})x^{n+1}.\]

  3. En déduire que \(S\) a une limite en \(1^-\) et la calculer.


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[ID: 3605] [Date de publication: 13 mars 2024 22:13] [Catégorie(s): Etudes au bord ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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CCP 2015
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:13
  1. Pour tout \(n\geq 3\), \(1\leq \ln n\leq n\). On en déduit que le rayon de convergence vaut 1.

  2. Pour tout \(x\in {]-1,1[}\), \((1+x)S(x)= \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \ln n\,x^n+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \ln n\,x^{n+1}\)

    Or \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \ln n\,x^n=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \ln (n+1)\,x^{n+1}\), donc \((1+x)S(x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n (\ln n-\ln(n+1))x^{n+1}\), donc, pour tout \(x\in {]-1,1[}\), \(S(x)=\dfrac{1}{1+x}(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \ln(1+\dfrac{1}{n})x^{n+1})\).

  3. Pour tout \(x\in [0,1]\), \(\sum(-1)^{n+1} \ln(1+\dfrac{1}{n})x^{n+1}\) vérifie le critère des séries alternées et donc, pour tout \(x\in [0,1]\), pour tout \(n\geq 1\), \(|R_n(x)|\leq \ln(1+\dfrac{1}{n})x^n\leq \dfrac{1}{n}\), ce qui montre la convergence uniforme sur \([0,1]\) de la série entière. On peut donc en déduire que \(S\) a une limite en \(1^-\) et que cette limite vaut \(\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \ln(1+\dfrac{1}{n})\).


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