Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite \((b_n)\). On suppose que la série \(A(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) a un rayon \(R > 0\) et que \(b_n/b_{n+1} \to _{n\to \infty }\lambda\) avec \(|\lambda | < R\). Montrer que \(c_n/b_n\to _{n\to \infty }A(\lambda )\).

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[ID: 3603] [Date de publication: 13 mars 2024 22:13] [Catégorie(s): Etudes au bord ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Produit de Cauchy
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:13

\(\dfrac{c_n}{b_n} = a_0 + a_1\dfrac{b_{n-1}}{b_n} + \dots+ a_n\dfrac{b_0}{b_n} = \sum_{k=0}^\infty a_ku_{n,k}\) et le thm de convergence dominée s’applique.

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