Pour \(x\in \mathbb{R}\) on pose \(f(x) = \sum_{n=1}^\infty x^n \sin\dfrac1{\sqrt n}\).

  1. Déterminer le rayon de convergence, \(R\), de cette série.

  2. Étudier la convergence de \(f\) pour \(x = \pm R\).

  3. Déterminer \(\lim_{x\to R^-} f(x)\).


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[ID: 3597] [Date de publication: 13 mars 2024 22:13] [Catégorie(s): Etudes au bord ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Étude sur le cercle de convergence
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:13
  1. Déterminer le rayon de convergence, \(R\), de cette série. \(R=1\).

  2. \(x=-1 \Rightarrow\) cv (série alternée), \(x=1 \Rightarrow\) dv.

  3. \(f\) est croissante sur \([0,1[\) donc \(L\) existe dans \([0,+\infty ]\).

    \(L = \sup\limits_{[0,1[} f(x) \geq \sup\limits_{[0,1[} \sum_{n=1}^n x^n \sin\dfrac1{\sqrt n} \geq \sum_{n=1}^n \sin\dfrac1{\sqrt n} \Rightarrow L = +\infty\).


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