Soit \((a_n)\) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal C ^\infty\) telle que pour tout entier \(n\) on ait \(f^{(n)}(0) = n!\,a_n\). Soit \(\varphi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal C ^\infty\) vérifiant : \(\forall x\in {[-1,1]}\), \(\varphi (x)=1\) et \(\forall x\not\in {[-2,2]}\), \(\varphi (x)=0\) (l’existence de \(\varphi\) fait l’objet de la question 2). On pose \(\varphi _n(x) = x^n \varphi (x)\), \(M_n = \max(\left\|\varphi _n'\right\|_\infty ,\dots,\left\|\varphi _n^{(n)}\right\|_\infty )\) et \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \varphi (\lambda _nx)\)\((\lambda _n)\) est une suite de réels strictement positifs, tendant vers \(+\infty\) et telle que \(\sum |a_n|M_n/\lambda _n\) converge.

  1. Montrer que \(f\) est bien définie, est de classe \(\mathcal C ^\infty\) sur \(\mathbb{R}\) et vérifie \(f^{(n)}(0) = n!\,a_n\).

  2. Construction de \(\varphi\) : à l’aide de fonctions du type \(x\mapsto \exp(-1/x)\) construire une fonction \(\psi\) de classe \(\mathcal C ^\infty\) sur \([0,+\infty [\) nulle sur \([0,1]\cup [2,+\infty [\) et strictement positive sur \(]1,2[\).

    Vérifier alors que \(\varphi (x) = \int _{t=|x|}^{+\infty }\psi (t)\,d t\Bigm/\int _{t=0}^{+\infty }\psi (t)\,d t\) convient.


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[ID: 3595] [Date de publication: 13 mars 2024 22:10] [Catégorie(s): Calculs de somme de séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Thm de réalisation de Borel
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:10
  1. Pour \(x\neq 0\) la série comporte un nombre fini de termes non nuls au voisinage de \(x\), donc est \(\mathcal C ^\infty\) au voisinage de \(x\). On a \(|f^{(k)}(x)| = \Bigl|\sum_{n=0}^\infty a_n\lambda _n^{k-n}\varphi _n^{(k)}(\lambda _nx)\Bigr| \leq \sum_{n=0}^\infty |a_n|\lambda _n^{k-n}M_n \leq \text{cste}(k) + \sum_{n=k+1}^\infty |a_n|M_n/\lambda _n\) en supposant \(\lambda _n\geq 1\) pour \(n\geq k\), donc \(f^{(k)}\) est bornée sur \(\mathbb{R}\). Ceci implique que \(f\) est \(\mathcal C ^\infty\) en \(0\) et on a le développemment limité : \(f(x) = \sum_{n=0}^k a_nx^n + o(x^k)\) car \(\varphi \equiv 1\) au voisinage de \(0\) donc \(f^{(k)}(0) = k!\,a_k\).

  2. \(\psi (x) = \exp\Bigl(\dfrac1{(1-x)(x-2)}\Bigr)\) sur \(]1,2[\), \(\psi (x) = 0\) ailleurs.


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