Soit \(\alpha >0\). On considère la fonction \(f_\alpha\) : \(x\mapsto \sum_{n=1}^\infty e^{-n^\alpha }e^{inx}\). Montrer que \(f\) est \(\mathcal C ^\infty\). Donner une CNS sur \(\alpha\) pour que \(f\) soit développable en série entière en tout point de \(\mathbb{R}\).


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[ID: 3593] [Date de publication: 13 mars 2024 22:10] [Catégorie(s): Calculs de somme de séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Ens Ulm-Lyon-Cachan MP\(^*\) 2003
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:10

Il y a dérivation terme à terme facilement et indéfiniment.

DSE au voisinage de \(0\) : on envisage de permuter les \(\sum\) dans : \(f_\alpha (x) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{p=0}^\infty e^{-n^\alpha }\dfrac{(inx)^p}{p!}\), ce qui est légitime si la série \(\sum_{n=1}^\infty e^{-n^\alpha }e^{n|x|}\) converge. On en déduit qu’une condition suffisante pour que \(f\) soit DSE au voisinage de \(0\) est \(\alpha \geq 1\) (avec convergence si \(x\in {]-1,1[}\) pour \(\alpha = 1\) et pour tout \(x\in \mathbb{R}\) si \(\alpha > 1\)). Cas \(\alpha < 1\) : \(|f^{(k)}(0)| = \sum_{n=1}^\infty e^{-n^\alpha }n^k \geq e^{-N^\alpha }N^k\) avec \(N=\lfloor k^{1/\alpha }\rfloor\) donc pour \(r>0\) fixé et \(k\) tendant vers l’infini on a \(\ln\Bigl(\Bigl|\dfrac{f^{(k)}(0)r^k}{k!}\Bigr|\Bigr) \sim \Bigl(\dfrac1\alpha -1\Bigr)k\ln(k)\) et la série de terme général \(\dfrac{f^{(k)}(0)r^k}{k!}\) diverge grossièrement. DSE au voisinage de \(a\neq 0\) : même raisonnement en écrivant \(f(x) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{p=0}^\infty e^{-n^\alpha }e^{ina}\dfrac{(in(x-a))^p}{p!}\). En conclusion, \(f\) est analytique sur \(\mathbb{R}\) si et seulement si \(\alpha \geq 1\).


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