Soit \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty e^{-n+n^2 ix}\). Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C ^\infty\) sur \(\mathbb{R}\) mais n’est pas développable en série entière autour de \(0\).


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[ID: 3591] [Date de publication: 13 mars 2024 22:10] [Catégorie(s): Calculs de somme de séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Fonction non DSE
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:10

\(|f^{(k)}(0)| = \sum_{n=0}^\infty n^{2k}e^{-n} \geq k^{2k}e^{-k}\), donc \(\dfrac{|f^{(k)}(0)|}{k!} \geq k^ke^{-k} \Rightarrow R=0\).


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