Soit \(q \in {]-1,1[}\) et \(f(x) = \prod _{n=1}^\infty (1-q^n x)\).

  1. Montrer que \(f(x)\) existe pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0. On admettra que si une fonction \(g\) est DSE alors \(e^g\) l’est.

  2. A l’aide de la relation : \(f(x) = (1-qx)f(qx)\), calculer les coefficients du développement de \(f\) et le rayon de convergence.

Barre utilisateur

[ID: 3589] [Date de publication: 13 mars 2024 22:10] [Catégorie(s): Calculs de somme de séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(\prod _{n=1}^\infty (1-q^n x)\)
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:10

  1. Pour \(|x| < \dfrac1q\) : \(\ln f(x) = \sum_{n=1}^\infty \ln(1-q^n x) = -\sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty \dfrac{q^{kn}x^k}k = -\sum_{k=1}^\infty \dfrac{q^kx^k}{k(1-q^k)}\),

    \(f = e^{\ln f}\) est DSE par composition.

  2. \(a_n = \dfrac{q^{n(n+1)/2}}{(q-1)\dots(q^n -1)}\), \(R = \infty\).

Documents à télécharger

\(\prod _{n=1}^\infty (1-q^n x)\)
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice