Soit \(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&0\\1&0&0\\\end{pmatrix} \in \mathcal M _3(\mathbb{R})\).

  1. Montrer que \(A\) est diagonalisable et admet trois valeurs propres réelles dont on précisera les parties entières.

  2. On pose \(t_n = \mathop{\rm tr}\nolimits(A^n )\). Exprimer \(t_n\) en fonction de \(t_{n-1},t_{n-2},t_{n-3}\).

  3. Déterminer le rayon de convergence de la série entière \(\sum_{n=0}^\infty t_nz^n\) et calculer sa somme.


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[ID: 3579] [Date de publication: 13 mars 2024 22:10] [Catégorie(s): Calculs de somme de séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Série des traces (Centrale MP 2003)
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:10
  1. \(\chi_A(\lambda ) = -\lambda ^3 + 2\lambda ^2 + \lambda - 1\). \(\chi_A(-1)>0\), \(\chi_A(0) < 0\), \(\chi_A(1)>0\), \(\chi_A(2)>0\), \(\chi_A(3)<0\) donc \(\chi_A\) admet une racine dans chacun des intervalles \(]-1,0[\), \(]0,1[\) et \(]2,3[\).

  2. Cayley-Hamilton : \(t_n = 2t_{n-1}+t_{n-2}-t_{n-3}\).

  3. Soient \(-1<\alpha <0<\beta <1<2<\gamma <3\) les valeurs propres de \(A\). On a \(t_nz^n = (\alpha z)^n + (\beta z)^n + (\gamma z)^n\) donc la série \(\sum_{n=0}^\infty t_nz^n\) converge si et seulement si \(|\gamma z|<1\) et vaut : \[\dfrac1{1-\alpha z} + \dfrac1{1-\beta z} + \dfrac 1{1-\gamma z} = \dfrac1z\dfrac{\chi'}{\chi}(1/z) = \dfrac{-z^2 -4z+3}{z^3-z^2 -2z+1}.\]


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