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Série matricielle, Centrale MP 2000
Montrer l’existence de \(f(z) = \sum_{k=1}^{\infty } kz^k\) pour \(z\in \mathbb{C}\), \(|z|<1\).
Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\). Montrer que \(\sum_{k=1}^{\infty } kA^k\) converge si et seulement si les valeurs propres de \(A\) sont de module strictement inférieur à \(1\).
La somme \(S = \sum_{k=1}^\infty kA^k\) est-elle inversible ?
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[ID: 3577] [Date de publication: 13 mars 2024 22:10] [Catégorie(s): Calculs de somme de séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Série matricielle, Centrale MP 2000
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:10
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:10
S’il existe \(\lambda \in \mathop{\rm sp}\nolimits(A)\) tel que \(|\lambda |\geq 1\) et si \(x\) est un vecteur propre associé alors \(kA^kx = k\lambda ^kx\not\to 0\) donc la série diverge.
Si toutes les valeurs propres de \(A\) sont de module \(<1\), comme \(kA^k = \sum_\lambda \lambda ^kP_\lambda (k)\) où les \(P_\lambda\) sont des polynômes à coefficients matriciels, la série converge absolument.
\(S = \sum_{k=0}^\infty (k+1)A^{k+1} = AS + \sum_{k=0}^\infty A^{k+1} = AS + A(I-A)^{-1}\) donc \(S = A(I-A)^{-2}\) est inversible ssi \(A\) l’est.
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