Calculer les sommes des séries suivantes :

  1. \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n }{2n-1}\).

  2. \(\sum_{n=0}^\infty n^2 x^n\).

  3. \(\sum_{n=0}^\infty n^3x^n\).

  4. \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n }{(n+1)(n+3)}\).

  5. \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{4n^2 -1}\).

  6. \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n }{4n-1}\), \(x\geq 0\).

  7. \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{n+3}{2n+1}x^n\).

  8. \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{x^n }n\mathop{\rm ch}\nolimits(na)\).

  9. \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{n\sin^2 (n\theta )}{2^n }\).

  10. \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{n^2 +1}{n+1}x^n\).

  11. \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n }{(2n)!}\).

  12. \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{\sin^2 (n\theta )}{n!}x^{2n}\).

  13. \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{n^5x^n }{n!}\).

  14. \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^{3n}}{(3n)!}\).

  15. \(\sum_{n=1}^\infty \binom{2n}{n+1} x^n\).

  16. \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac1{n!}\int _{t=1}^x\ln^n t\,d t\).

  17. \(\sum_{n=1}^\infty \left(1+\frac12+\dots+\frac1n\right)x^n\).


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[ID: 3573] [Date de publication: 13 mars 2024 22:09] [Catégorie(s): Calculs de somme de séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Sommation de séries entières
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:09
  1. \(-1+\sqrt x\mathop{\rm argth}\nolimits\sqrt x\) pour \(0\leq x < 1\) et \(-1-\sqrt {-x}\arctan\sqrt {-x}\) pour \(-1\leq x \leq 0\).

  2. \(\dfrac{x+x^2 }{(1-x)^3}\).

  3. \(\dfrac{x(1+4x+x^2 )}{(1-x)^4}\).

  4. \(\dfrac{2(1-x^2 )\ln(1-x) + x^2 +2x}{4x^3}\) (décomposer en éléments simples).

  5. \(-\dfrac12(x+(x^2 +1)\arctan x)\) (décomposer en éléments simples).

  6. \(-1+\dfrac u4\mathop{\rm argth}\nolimits u -\dfrac u2\arctan u\), \(u=\root4\of x\).

  7. \(\dfrac1{2(1-x)} + \dfrac5{2\sqrt x}\mathop{\rm argth}\nolimits\sqrt x\) pour \(0\leq x < 1\) et \(\dfrac1{2(1-x)} + \dfrac5{2\sqrt {-x}}\arctan\sqrt {-x}\) pour \(-1 < x \leq 0\).

  8. \(-\dfrac12\ln(1-2x\mathop{\rm ch}\nolimits a+x^2 )\).

  9. \(1-\dfrac{5\cos2\theta -4}{(5-4\cos2\theta )^2 }\) (linéariser).

  10. \(\dfrac{2x-1}{(1-x)^2 } - \dfrac{2\ln(1-x)}x\).

  11. \(\mathop{\rm ch}\nolimits\sqrt x\) pour \(x \geq 0\) et \(\cos\sqrt {-x}\) pour \(x \leq 0\).

  12. \(\dfrac{e^{x^2 }}2 - \dfrac{e^{x^2 \cos2\theta }}2\cos(x^2 \sin2\theta )\).

  13. \((x+15x^2 +25x^3+10x^4+x^5)e^x\).

  14. \(\dfrac{e^x+2e^{-x/2}\cos(x\sqrt 3/2)}3\), (\(f''' = f\)).

  15. \(\dfrac{1-\sqrt {1-4x}-2x}{2x\sqrt {1-4x}}\).

  16. \(\dfrac{x^2 -1}2\).

  17. \(-\dfrac{\ln(1-x)}{1-x}\).


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