1. Vérifier que pour \(x\in {]0,+\infty [}\) on a : \(\zeta (1+x)-\dfrac1x = \sum_{n=1}^\infty \Bigl( \dfrac1{n^{1+x}} - \dfrac1x\bigl(\dfrac1{n^x}-\dfrac1{(n+1)^x}\bigr)\Bigr)\).

  2. Pour \(p\in \mathbb{N}\) on pose \(\gamma _p = \lim_{k\to \infty }\Bigl(\dfrac{\ln^p(1)}1 + \dots+ \dfrac{\ln^p(k)}k - \dfrac{\ln^{p+1}(k+1)}{p+1}\Bigr)\). Justifier l’existence de \(\gamma _p\) et montrer que \(|\gamma _p| \leq (p/e)^p\).

  3. Montrer alors que pour \(x\in {]0,1[}\) on a : \(\zeta (1+x)-\dfrac1x = \sum_{p=0}^\infty \dfrac{(-1)^p\gamma _p}{p!}x^p\).


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[ID: 3572] [Date de publication: 13 mars 2024 22:09] [Catégorie(s): Calculs de somme de séries entières ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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