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[ID: 3566] [Date de publication: 13 mars 2024 22:09] [Catégorie(s): Calculs de somme de séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Mines-Ponts MP 2004
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:09

\(f(\mathop{\rm sh}\nolimits y) = e^{y/2}\) d’où l’équation différentielle : \((1+x^2 )f''(x) + xf'(x) = \frac14f(x)\).

En posant \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) on obtient \(4(k+1)(k+2)a_{k+2} = -(2k+1)(2k-1)a_k\) avec \(a_0 = f(0) = 1\) et \(a_1 = f'(0) = \frac12\), d’où \(a_{2p} = \dfrac{(-1)^{p+1}\binom{4p-2}{2p-1}}{p2^{4p}}\) si \(p\geq 1\) et \(a_{2p+1} = \dfrac{(-1)^p\binom{4p}{2p}}{2^{4p+1}(2p+1)}\) si \(p\geq 0\).

Le rayon de convergence de la série correspondante est 1, ce qui valide la méthode (avec le thm. d’unicité de Cauchy-Lipschitz).