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Développements en série entière
Développer en série entière les fonctions suivantes :
\(\ln(1+x+x^2 )\).
\((x-1)\ln(x^2 -5x+6)\).
\(x\ln(x+\sqrt {x^2 +1}\,)\).
\(\dfrac{x-2}{x^3-x^2 -x+1}\).
\(\dfrac1{1+x-2x^3}\).
\(\dfrac{1-x}{(1+2x-x^2 )^2 }\).
\(\sqrt {\dfrac{1-x}{1+x}}\).
\(\arctan(x+1)\).
\(\arctan(x+\sqrt 3\,)\).
\(\int _{t=0}^x \dfrac{\ln(t^2 -5t/2+1)}t\,d t\).
\(\Bigl(\dfrac{(1+x)\sin x}x\Bigr)^2\).
\(\int _{t=x}^{2x} e^{-t^2 }\,d t\).
\(e^{-2x^2 }\int _{t=0}^x e^{2t^2 }\,d t\).
\(\dfrac{\arcsin \sqrt x}{\sqrt {x(1-x)}}\).
\(\sin(\frac13\arcsin x)\).
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[ID: 3560] [Date de publication: 13 mars 2024 22:09] [Catégorie(s): Calculs de somme de séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Développements en série entière
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:09
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:09
\(= \ln(1-x^3) - \ln(1-x) = \sum_{n=0}^\infty \left( \dfrac{x^{3n+1}}{3n+1} + \dfrac{x^{3n+2}}{3n+2} - 2\dfrac{x^{3n+3}}{3n+3}\right)\).
Factoriser : \(-\ln 6 + (\frac56 + \ln6)x - \sum_{n=2}^\infty \left(\dfrac{n+1}{2^n } + \dfrac{2n+1}{3^n }\right)\dfrac{x^n }{n(n-1)}\).
Dériver le ln : \(\sum_{n=1}^\infty -1/\binom{n-1}{2}\dfrac{x^{2n}}{2n-1}\).
\(\sum_{n=0}^\infty -\dfrac{2n+ 5 + 3(-1)^n }4 x^n\).
\(\frac15\sum_{n=0}^\infty \Bigl(1+2{\sqrt 2\,}^n (2\cos(3n\pi /4)-\sin(3n\pi /4))\Bigr)x^n\).
Intégrer : \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{n+1}{4\sqrt 2} \Bigl((-\sqrt 2-1)^{n+2} - (\sqrt 2-1)^{n+2}\Bigr)x^n\).
\(=\dfrac{1-x}{\sqrt {1-x^2 }} =\sum_{n=0}^\infty {\binom{-1/2}{n}}(-1)^n (x^{2n}-x^{2n+1})\).
Dériver : \(\dfrac\pi 4 - \sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin(n\pi /4)}{n{\sqrt 2\,}^n }(-1)^n x^n\).
Dériver : \(\dfrac\pi 3 + \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\dfrac{\sin(n\pi /6)}{n2^n }x^n\).
Dériver, factoriser : \(\sum_{n=1}^\infty -\dfrac{2^n +2^{-n}}{n^2 }x^n\).
Linéariser : \(1 + \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n+1}4^n }{(2n)!} \Bigl(x^{2n-1} + \dfrac{(2n^2 +3n-1)}{(2n+1)(2n+2)}x^{2n}\Bigr)\).
Dériver : \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n (2^{2n+1}-1)}{n!\,(2n+1)}x^{2n+1}\).
\(y' = -4xy+1\) : \(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \dfrac{8^n n!}{(2n+1)!}x^{2n+1}\).
\(2x(1-x)y'+(1-2x)y = 1\) : \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{4^n }{(2n+1)\binom{2n}{n}}x^n\).
\((1-x^2 )y'' - xy' + \dfrac y9 = 0\) : \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{4^n \binom{3n}{n}}{(2n+1)3^{3n+1}}x^{2n+1}\).
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