Pour \(n\in \mathbb{N}\) et \(x\in \mathbb{R}\) on pose \(u_n(x) = \Bigl(\dfrac{x(1-x)}2\Bigr)^{4^n }\).

  1. Déterminer le domaine de convergence de la série \(\sum_{n=0}^\infty u_n(x)\).

  2. On développe \(u_n(x)\) par la formule du binôme : \(u_n(x) = \sum_{4^n \leq k \leq 2.4^n }a_kx^k\). Montrer que le rayon de convergence de la série entière \(\sum_{k\geq 1}a_kx^k\) est égal à \(1\) (en convenant que les \(a_k\) non définis valent zéro).


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[ID: 3558] [Date de publication: 13 mars 2024 22:07] [Catégorie(s): Calculs de rayon de convergence ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Développer peut être dangereux
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:07
  1. \(]-1,2[\).

  2. Pour \(0\leq k\leq 4^n\), on a \(|a_k| \leq \binom{4^n }{4^n /2}\Bigm/2^{4^n }\) (atteint pour \(k=4^n /2\)).

    Donc \(a_n\to _{n\to \infty }0\) et si \(x>1\) alors \(a_{3*4^n /2}x^{3*4^n /2}\) \(\not\to _{n\to \infty }0\).


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