Soit \(a(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence infini et \(\rho > 0\). On définit la série entière \(b(z) = \sum_{n=0}^\infty b_nz^n\) de sorte que \((z-\rho )b(z) = a(z)\) en cas de convergence de \(b(z)\).

  1. Prouver l’existence et l’unicité des coefficients \(b_n\).

  2. Quel est le rayon de convergence de \(b(z)\) ?


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[ID: 3556] [Date de publication: 13 mars 2024 22:07] [Catégorie(s): Calculs de rayon de convergence ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Division par \(z-\rho\)
Par Michel Quercia le 13 mars 2024 22:07
  1. Série produit de \(a(z)\) et \(\dfrac1{z-\rho } \Rightarrow b_n = \sum_{k=0}^\infty a_{k+n+1}\rho ^k\).

  2. Si \(a(\rho ) \neq 0\) : \(b(z)\) converge pour \(|z|<\rho\) et tend vers l’infini pour \(z\to \rho ^- \Rightarrow R = \rho\).

    Si \(a(\rho ) = 0\) : \(\forall r > \rho\), \(|a_p| \leq \dfrac M{r^p}\Rightarrow |b_n| \leq \dfrac M{r^n (r-\rho )} \Rightarrow R=\infty\).


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